Công thức lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

Với tóm lược lý thuyết Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác sách Kết nối trí thức hoặc nhất, cụ thể sẽ hùn học viên lớp 11 nắm rõ kỹ năng trọng tâm, ôn luyện nhằm học tập chất lượng tốt môn Toán 11.

Công thức lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Quảng cáo

Lý thuyết Công thức lượng giác

1. Công thức cộng

cos (a – b) = cosa cosb + sina sinb

cos (a + b) = cosa cosb – sina sinb

sin (a – b) = sina cosb – cosa sinb

sin (a + b) = sina cosb + cosa sinb

tan (a-b) = $\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$

tan (a+b) = $\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$

(giả thiết những biểu thức đều phải có nghĩa).

Ví dụ: Không sử dụng PC, hãy tính sin và tan 15°.

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Ta có

sin = -sin$\frac{7\pi }{6}$ = -sin

= -sin$\pi$cos$\frac{\pi }{6}$ - cos$\pi$sin$\frac{\pi }{6}$ = -0.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ - (-1).$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$.

Ta sở hữu

tan15^o = tan(60^o - 45^o) = $\frac{\tan 60°-\tan 45°}{1+\tan 60°.\tan 45°}$

$=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}.1}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3}$

2. Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos²a – sin²a = 2cos² – 1 = 1 – 2sin²a

Quảng cáo

tan2a = $\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$.

Chú ý: Từ công thức nhân song suy ra sức thức hạ bậc:

${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}$.

Ví dụ: Biết sinα = $\frac{2}{5}$ và 0 < α < $\frac{\pi }{2}$ . Tính sin2α ; cos2α và tan2α.

Hướng dẫn giải

Vì 0 < α < $\frac{\pi }{2}$ nên cosα > 0.

Ta có:

sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 – sin²α = 1-= $\frac{21}{25}$

⇒ cosα = $\frac{\sqrt{21}}{5}$.

Quảng cáo

Ta có: sin2α = 2sinα cosα = $2.\frac{2}{5}.\frac{\sqrt{21}}{5}=\frac{4\sqrt{21}}{25}$

cos2α = 1 – 2sin²α = 1 - 2.= $\frac{17}{25}$

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{2\sqrt{21}}{21}$

⇒ tan$2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=$$=\frac{4\sqrt{21}}{17}$.

3. Công thức đổi khác tích trở nên tổng

cosacosb = $\frac{1}{2}$[cos(a-b) + cos(a+b)]

sinasinb = $\frac{1}{2}$[cos(a-b) - cos(a+b)]

sinacosb = $\frac{1}{2}$[sin(a-b) + sin(a+b)].

Ví dụ: Tính độ quý hiếm của biểu thức

a) A = $\sin \frac{7\pi }{12}\cos \frac{5\pi }{12}$;

b) B = $\sin \frac{\pi }{12}\sin \frac{7\pi }{12}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Vậy A = $\frac{1}{4}$.

b) Ta có:

Vậy B = $\frac{1}{4}$ .

4. Công thức đổi khác tổng trở nên tích

cosu + cosv = 2cos$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$

cosu - cosv = -2sin$\frac{u+v}{2}$sin$\frac{u-v}{2}$

sinu + sinv = 2sin$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$

sinu - sinv = 2cos$\frac{u+v}{2}$sin$\frac{u-v}{2}$.

Ví dụ: ChoA = cos$\frac{\pi }{17}$.cos$\frac{4\pi }{17}$ và B = cos$\frac{3\pi }{17}$ + cos$\frac{5\pi }{17}$. Không sử dụng PC, tính độ quý hiếm của biểu thức $\frac{A}{B}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

B = cos$\frac{3\pi }{17}$ + cos$\frac{5\pi }{17}$ = 2.cos$\frac{\frac{3\pi }{17}+\frac{5\pi }{17}}{2}$.cos$\frac{\frac{3\pi }{17}-\frac{5\pi }{17}}{2}$

= 2.cos$\frac{4\pi }{17}$.cos = 2cos$\frac{4\pi }{17}$.cos$\frac{\pi }{17}$.

Suy đi ra $\frac{A}{B}=\frac{\cos \frac{\pi }{17}.\cos \frac{4\pi }{17}}{\cos \frac{3\pi }{17}+\cos \frac{5\pi }{17}}=\frac{\cos \frac{\pi }{17}.\cos \frac{4\pi }{17}}{2\cos \frac{4\pi }{17}.\cos \frac{\pi }{17}}=\frac{1}{2}$ .

Bài tập dượt Công thức lượng giác

Bài 1. Tính sin2a và tan2a biết cos a = $\frac{1}{4}$ và $\frac{3\pi }{2}$π.

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{3\pi }{2}$πnên sina < 0.

Ta có:

sin²a + cos²a = 1 ⇒ sin²a = 1 – cos²a = 1 - = $\frac{15}{16}$

⇒ sina = $-\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Ta có: sin2a = 2sina cosa = 2..$\frac{1}{4}$ = $-\frac{\sqrt{15}}{8}$

Ta có: tana = $\frac{\sin a}{\cos a}=-\sqrt{15}$

⇒$\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$==$=\frac{-2\sqrt{15}}{-14}=\frac{\sqrt{15}}{7}$.

Bài 2. Tính

a) sin biết sin a = $\frac{3}{4}$ và 0 < a < $\frac{\pi }{2}$;

b) cos$\frac{3\pi }{8}$.cos$\frac{\pi }{8}$ + sin$\frac{3\pi }{8}$.sin$\frac{\pi }{8}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì 0π2 nên cosa > 0.

Ta có: sin²a + cos²a = 1 ⇒ cos²a = 1 – sin²a = 1-=$\frac{7}{16}$

⇒ cosa = $\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Vậy sin$=\sin a\cos \frac{\pi }{3}-\cos a\sin \frac{\pi }{3}=\frac{3}{4}.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{8}$ .

Suy ra: $\cos \frac{3\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{3\pi }{8}.\sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Bài 3. Tính

a) cos(–15°) + cos255°;

b) sin$\frac{13\pi }{24}$sin$\frac{5\pi }{24}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

cos(-15^o) + cos255^o = 2.cos$\frac{-15°+255°}{2}$.cos$\frac{-15°-255°}{2}$

= 2.cos120^o.cos(135^o) = 2

Vậy cos(–15°) + cos255° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

b) Ta có:

Vậy $\sin \frac{13\pi }{24}\sin \frac{5\pi }{24}=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$.

Học chất lượng tốt Công thức lượng giác

Các bài học kinh nghiệm nhằm học tập chất lượng tốt Công thức lượng giác Toán lớp 11 hoặc khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác

Xem tăng tóm lược lý thuyết Toán lớp 11 hoặc khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm con số giác

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

• Tổng phù hợp thuyết Toán 11 Chương 1

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Dãy số

• Lý thuyết Toán 11 Bài 6: Cấp số cộng

Xem tăng những tư liệu học tập chất lượng tốt lớp 11 hoặc khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học hành Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối trí thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời tạo nên (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)